回想一下，如果20年前，我们想告诉朋友我们当下的具体位置应该怎么办呢？你说你在公园的湖边，景色有多美，描述得再好也一点用都没有。这个时候能帮我们的只有物理，这就是我们第一节课里面介绍过的参考系。我们可以以自己为原点，以正东、正北两个方向为x、y轴，，然后告诉对方自己所在的坐标（x,y）。
图1 某导航软件的界面
当然了，没有人会真的去测量这个值，现在我们的导航系统已经可以帮助我们完成这些测量，只要在导航软件里设定好自己的起点位置和终点位置，导航软件就可以为我们规划好出行的路线。很多即时通讯软件（比如微信）都可以把我们的位置分享给好友。我们接下来就来介绍导航软件里面要用的一些基本物理概念，理解这些物理概念，也帮助我们更好地用好软件提供的位置功能。
一、位矢(Position Vector）——描述物体位置的物理量
不论是人还是动物，都能够在运动中自动地确定自己和周围物体的位置，否则我们不论在哪都会撞得鼻青脸肿。现在的无人驾驶汽车，就是一套依靠雷达和导航系统实现自动定位和驾驶的机器。我们守护祖国领空的战斗机需要锁定目标，我们的导弹部队也需要定位和锁定敌人。
图2 五代战斗机上的操作屏
其实这种位置矢量是我们在手机里最常用的功能，微信里面有一个发送位置的功能，发送的就是位矢。以上这些操作，都需要准确地确定该一个活动目标的位置，而且还需要确定其所在的方向。这就是我们要介绍的位置矢量，简称位矢。
在物理学上，为了描述物体的位置和方向，我们需要首先建立坐标系。我们以直角坐标系为例，可以用一组坐标值（x,y,z）来表示一个三维运动的质点的位置，括号中的三个数分别表示x坐标、y坐标、z坐标额值。这种既有大小又有方向的量称为矢量。位置矢量就是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段r。
图3 二维坐标与位矢
坐标（x,y,z）——就是位矢r在坐标轴的投影（分量）。坐标和位矢都可以用来表示物体的位置，质点的位矢可以用他在各个坐标轴的投影值x，y，z给出。位矢可以表示为r=xi yj zk
二、位移（displacement）——描述 物体位置变化的物理量
在微信里除了发送位置这个功能之外，还有一个功能叫做共享实时位置，这个功能的目的在于向对方发送自己不断移动的位置信息。这个时候，我们的位置总是在不断地变化着。为了不断地确定位置变化的大小和方向，就需要引入另外一个物理量位移△r来表示，如图4所示，t时刻到t △t时刻质点的位移△r，是由t时刻质点位置指向t △t时刻质点位置的一个矢量。
图4 二维坐标系中的位矢、位移
位移△r是矢量，它在坐标轴上有投影（分量），有图可得位移与坐标变化的关系为△r=△xi △yj △zk，如果是一个平面运动，则△z=0。
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由图4可知，已知某一时刻t的位矢r(t)和△t时间内的位移△r，利用平行四边形法则就可以求出位矢r(t △t)表示的下一时刻t △t的位置。我们的导航软件经常会提示我们到某地还需要多少时间，所以还必须要搞清楚我们移动的快慢和方向，所以引入描写物体运动快慢和方向的物理量就是必要的。
图5 瞬时速度和平均速度
三、速度（velocity）——描述物体运动快慢和方向的物理量
我们在导航软件里面如果设置一段距离，比如从甲地到乙地为1公里，我们就可以从甲地到乙地之间画出来一个带箭头的矢量代表两地之间的位移△r，如果我们是步行从甲地到乙地要花时间△t=15分钟，乘车需要花时间△t=2分钟，要快7.5倍，位移△r是一定的，但是完成位移所花的时间△t与运动快慢成反比。
花费同样的时间△t，位移△r越大，运动速度越快。用质点位移△r与发生这个位移所用的时间△t的比值来表示这段时间内物体运动的平均快慢和方向，称为平均速度，即v=△r/△t。平均速度是矢量，方向与位移△r的方向相同，平均速度的大小与取平均的时间间隔有关。
图6 汽车的仪表盘 速度表和转数表
从甲地到乙地的平均速度只能粗略反映步行从甲地到乙地的快慢和方向，不能反映步行到两地中间某位置或者是某时刻t的运动快慢。如果我们想知道步行到中间某位置的运动快慢和方向，可以在步行经过该点的一段无限小位移dr和经历此小位移的无限小时间dt，然后模仿平均速度的方式，得出步行通过该点t时刻的速度v=dr/dt。它能精确地反应步行经过某点的时刻t运动的快慢和方向，成为瞬时速度，简称速度，用v(t)表示，速度的方向与位移dr方向相同。
当dt很小很小时，dr的方向与运动轨迹的切线方向一致，所以速度方向为运动轨迹的切线方向，或者说速度的方向就是物体运动的方向。按照速度的定义，速度是单位时间的位移，因此已知t时刻的位置矢量r(t)和速度v(t)，就可以求出往后时刻的位矢。
图7 计步软件
我们在步行或者驾驶汽车使用导航的时候，软件通常都有一个剩余到达时间和剩余距离的提示，这个提示，就是系统根据我们的位矢以及我们移动的平均速度，参考我们在导航系统里设置的起点和终点位置，以及选择的路径，计算出来的估算值。
在国际单位制中，速度的单位为米/秒（m/s）。速度也是矢量，既有大小也有方向，所以在坐标轴上也有投影分量，记为vx，vy，vz，速度矢量与分量的关系可以写为v=vxi vyj vzk 瞬时速度的大小成为速率。我们导航软件上或者是汽车仪表盘上显示的我们的速度均为速率。
四、加速度（Acceleration）——描述速度变化快慢的物理量
在现实生活中，我们从甲地到乙地的过程不可能一直都是沿着直线前进，我们的速度也不可能一直都相同，就是说，我们在移动的过程中，我们的速度（速率和方向）是随着时间发生变化的。如果我们在时刻t的速度用v(t)来表示，时刻t △t的速度为v(t △t)，在△t的时间内，速度的变化为△v=v(t △t)-v(t)
图8 速度之间曲线
在物理学中用速度的变化量△v与发生这一变化所用的时间△t的比来表示速度变化的快慢和方向，称为平均加速度，即a=△v/△t。平均加速度会因为我们所取的平均时间△t不同而不同，所以在讲平均加速度的时候，一定要指出是哪一段时间内的平均加速度。
为了更精确地描述某时刻t速度的变化（快慢和方向），可以采用引入瞬时速度一样的方法来引入瞬时加速度。当△t趋于无限小△t→dt，对一个速度的变化率为dv与对应的无限小时间dt的比值成为指点的瞬时加速度a(t)，简称加速度，即a(t)=dv/dt。
从上面的加速度定义我们可以看出，加速度是单位时间内速度的变化量，所以，已知t时刻速度v(t)和加速度a(t)，我们就可以求出此刻之后的某时刻的速度。
在国际单位制中，加速度的单位为米/秒^2（m/s^2）。
由于速度是矢量，因此速度大小（速率）的变化会引起 速度变化△v，从而产生加速度，而且速度方向的改变也会引起速度变化△v，从而也产生加速度，比如匀速率圆周运动就是如此。加速度也是矢量，在坐标轴上也有投影或分量。
字数太多也是影响大家的学习体悟的，所以本文就先写到这里，欢迎期待下一篇《运动函数》这部分恐怕我又得分开写了，不然进度太快，大家不好接受。我会根据不同课时的内容，在我的微头条里发不每一节课的作业哦。大家有什么没弄明白的可以给我私信，也可以直接在文章或微头条后面留言。
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